Римана — Роха. С одной стороны, она позволяет продемонстрировать технику вычислений с когерентными пучками, не требуя слишком детального изучения локальных свойств морфизмов или проблем представимости функторов (на что у меня не было времени). С другой стороны, она наиболее близка к классической проблематике и явно открыта для дальнейшего прогресса.
Будучи фундаментом “численных методов” в алгебраической геометрии и теории схем, K-теория доставляет необходимый аппарат для исследования структуры колец Чжоу, задач об алгебраических циклах или проблем бирациональной геометрии.
Эта теория представлена в предлагаемых записях лекций второго года. Читатель, для которого лекции 2 окажутся недоступными, сможет понять эти записи, ознакомившись с литературой, указанной в п. а) (см. в особенности 3, 4).
В 1986-1988 гг. автор прочел на механико-математическом факультете МГУ двухгодовой курс лекций по алгебраической геометрии. Материал первого года был размножен на ротапринте 2, материал второго года был опубликован в “Успехах математических наук” 5. Оба эти издания сохранили отпечаток лекционного курса, с его преимуществами и недостатками.
Предлагаемая книга отличается небольшим и стольным силу трудовой главой задуманного учебника по алгебраической геометрии. Она уже включает для обозрения материал многих лекций 2, значительно расширенных и переработанных.
Предлагаемая книжка содержит прежде всего краткий, но очень ощупчивый очерк основных понятий теории схем и техники когомологий когерентных пучков на них. Далее, эта техника применяется к теории кривых и поверхностей, для которых строятся схемы Пикара и доказывается ряд фундаментальных алгебро-геометрических фактов.
Книга трудна, но написана очень живо и на редкость содержательно. В немногочисленной монографической литературе по современной алгебраической геометрии она занимает особое место: по ней можно изучать содержательные результаты, хотя предварительные требования к читателю достаточно высоки.
Вопросы векторной алгебры составляют обязательный раздел курса аналитической геометрии, читаемого студентам физико-математических факультетов пединститутов. Важность этого раздела определяется тем, что многие вопросы аналитической геометрии успешно описываются средствами векторной алгебры, а также и тем, что на базе векторной алгебры строится векторный анализ, широко применяемый в курсах дифференциальной геометрии, общей и теоретической физики, теоретической механики.
Кроме приложений к обязательным курсам, векторная алгебра с успехом может быть использована при решении различных задач элементарной геометрии. Последнее обстоятельство усиливает роль векторной алгебры при подготовке учителя математики и физики средней школы.
Исходя из этого, была предпринята попытка выделить векторную алгебру из курса аналитической геометрии при составлении задачника-практикума по этому курсу. Мы надеялись, что такая методика изучения векторного анализа улучшит теоретическую и профессиональную подготовку студентов.
В теории классовых групп, которая ведет начало от классических работ Ф. Клейна и А. Пуанкаре, в последнее время достигнут значительный прогресс. Однако на русском языке нет книг, посвященных изложению современного состояния этой теории.
Перевод работы американского математика Ирвина Кра восполняет указанный пробел. Наряду с новыми достижениями в книге изложены и многие классические результаты теории римановых поверхностей. Книга хорошо написана, доступна для начинающих и требует от читателей лишь знакомства с основным курсом комплексного анализа и элементами топологии.
Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые автор читал в начале нулевых годов на радио-физическом факультете Харьковского национального университета им. В. Н. Каразина.
Автор хотел написать учебник «как лучше», и ему трудно судить, удалось ли это. Зато с уверенностью можно сказать, что получилось не «как всегда», хотя рассматриваемые темы вполне традиционные: векторные и евклидовы пространства, линейные отображения и матрицы, определители, системы линейных уравнений и аналитическая геометрия.
Есть, по крайней мере, два важных отличия этого учебника от большинства подобных курсов. Во-первых, автор стремился получить все результаты в многомерном случае, хотя всегда подробно обсуждаются двух- и трехмерные случаи. Особенно это относится к аналитической геометрии.
Настоящее пособие имеет своей целью дать изучающим его, главным образом студентам вузов и втузов, необходимые сведения по векторному исчислению для того, чтобы можно было в дальнейшем изучать векторным способом другие дисциплины, как, например, теоретическую механику, гидромеханику, теорию электричества.
Курс снабжен большим количеством задач геометрического и элементарно-механического характера, помогающих лучшему усвоению понятий и методов векторного исчисления.
В настоящее издание включена новая глава VII, посвященная пространствам Минковского и основам специальной теории относительности.
Эта глава в известной мере примыкает к главам V и VI, где излагаются проективная геометрия и теоретико-групповые вопросы, но по существу ее изложение построено независимо от остального материала книги (в ней используются лишь готовые результаты главы V для доказательства линейности преобразований Лоренца). Что касается других разделов, то они, в основном, остались без изменений, если не считать местных исправлений и улучшений (которых, однако, довольно много).
Автор выражает благодарность Нгуен Кан Тоану (Вьетнам), И. А. Вайнштейну и А. М. Заморзаеву за полезные замечания и рекомендации к четвертому изданию.
В настоящем издании произведены следующие изменения:
Значительно сокращена глава 6, посвященная общему уравнению линии второго порядка. Дело в том, что приведение к каноническому виду такого уравнения само по себе является вполне простой задачей; кроме того, эта задача не настолько часто встречается, чтобы имело смысл запоминать для нее готовые формулы. Поэтому здесь достаточно разъяснить сущность метода, что и сделано.
В конце главы 8 добавлены два небольших пункта о разложении вектора по косому базису.
Несколько упрощено изложение отдельных мест главы 13.
Исключен материал, содержащийся в §§ 77—81 предыдущего издания (приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка).
Геометрическая теория инвариантов — одна из наиболее популярных и интенсивно развивавшихся областей математики XIX в. Ее достижения связаны с именами таких математиков, как Якоби, Клебш, Кази Гильберт. Забытая надолго, эта теория возродилась в наше время на новом уровне в связи с бурным развитием алгебраической геометрии.
Ведущая роль здесь принадлежит известному американскому математику Д. Мамфорду. Предлагаемая вниманию читателей книга состоит из перевода лекций одного из крупнейших французских математиков Ж. Дьевдоне (оформленных по записям сотрудников Ж. Керрнона), содержащих обзор классической теории инвариантов и краткое введение в теорию Д. Мамфорда, а также перевода части книги Д. Мамфорда по геометрической теории инвариантов, с приложением полного доказательства его результатов.
Книга представляет несомненный интерес для специалистов по алгебраической геометрии, теории инвариантов и теории групп Ли, а ее первая часть доступна более широкому кругу читателей, включая студентов-математиков и физиков старших курсов.
