Статьи

There are two main approaches to the numerical solution of the eikonal equation: reducing it to a system of ODES (method of characteristics) and constructing specialized methods for the numerical solution of this equation in the form of a partial differential equation. The latter approach includes the FSM (Fast sweeping method) method. It is reasonable to assume that a specialized method should have greater versatility. The purpose of this work is to evaluate the applicability of the FSM method for constructing beams and fronts. The implementation of the FSM method in the Eikonal library of the Julia programming language was used. The method was used for numerical simulation of spherical lenses by Maxwell, Luneburg and Eaton. These lenses were chosen because their optical properties have been well studied. A special case of flat lenses was chosen as the easiest to visualize and interpret the results. The results of the calculations are presented in the form of images of fronts and rays for each of the lenses. From the analysis of the obtained images, it is concluded that the FSM method is well suited for constructing electromagnetic wave fronts. An attempt to visualize ray trajectories based on the results of his work encounters a number of difficulties and in some cases gives an incorrect visual picture.

В исследовательских задачах, требующих применения численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, часто возникает необходимость выбора наиболее эффективного и оптимального для конкретной задачи численного метода. В частности, для решения задачи Коши, сформулированной для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, применяются методы Рунге–Кутты (явные или неявные, с управлением шагом сетки или без и т.д.). При этом приходится перебирать множество реализаций численного метода, подбирать коэффициенты или другие параметры численной схемы. В данной статье предложено описание разработанной авторами библиотеки и скриптов автоматизации генерации функций программного кода на языке Julia для набора численных схем методов Рунге–Кутты. При этом для символьных манипуляций использовано программное средство подстановки по шаблону. Предлагаемый подход к автоматизации генерации программного кода позволяет вносить изменения не в каждую подлежащую сравнению функцию по отдельности, а использовать для редактирования единый шаблон, что с одной стороны дает универсальность в реализации численной схемы, а с другой позволяет свести к минимуму число ошибок в процессе внесения изменений в сравниваемые реализации численного метода. Рассмотрены методы Рунге–Кутты без управления шагом, вложенные методы с управлением шагом и методы Розенброка также с управлением шагом. Полученные автоматически с помощью разработанной библиотеки программные коды численных схем протестированы при численном решении нескольких известных задач.