Учебное пособие предназначено студентам 1@-го курса математических факультетов университетов, а также всем желающим углубить свои познания в математическом анализе и несколько расширить свой кругозор.
Во втором томе «Теории чисел» Лежандр предлагает формулу для приблизительного определения числа простых чисел, меньших данного числа. Свою формулу Лежандр проверяет таблицей простых чисел от 10 000 до 1 000 000 и потом предлагает ее к решению некоторых вопросов теории чисел.
Несмотря на видимое согласие формулы Лежандра с таблицей простых чисел, мы не можем не изъявить сомнения насчет строгости ее и вследствие того не можем признать верными выводы, на ней основанные.
К такому заключению приводит нас одна теорема относительно свойств функции, определяющей число простых чисел, меньших данного числа, теорема, из которой могут быть выведены многие любопытные предложения. Мы займемся теперь изложением этой теоремы, а потом покажем некоторые из ее предложений.
При обработке второй части учебника Чезаро мы изменили систему, которой придерживались в первой части, а именно Westminster, чтобы выделять наши примечания и дополнения в особые отделы в конце каждой книги, мы помещаем здесь эти примечания и дополнения непосредственно за теми местами текста, к которым они относятся, отмечая их прямыми скобками []. Кроме того, некоторые §§ оригинала, в которых слишком сжатое изложение могло бы привести к недоразумениям, изложены нами в измененной и более подробной редакции.
Наибольшему изменению в этом отношении подвергся § 714, трактующий об условиях интергируемости функций, а §§ 708 и 736 вставлены целиком для пояснения следующих за ними статей.
Важнейшею ветвью математических наук, без сомнения, можно считать ту, которая, пользуясь возможностью увеличивать и уменьшать по произволу числа, и принимая во внимание существующие между ними зависимости, устанавливает систему аналитических приемов, применяемых, как в геометрических исследованиях, так и при изучении явлений природы. Эта ветвь носит название Анализа бесконечно-малых.
В настоящей книге (предназначавшейся первоначально исключительно для моих учеников) она и излагается элементарным способом на твердой основе Алгебраического Анализа, начала которого я спешу сообщить, опираясь на параллельно читаемый курс Аналитической Геометрии.
Третье издание отличается от первого лишь немногочисленными изменениями. Самое существенное из них состоит в том, что я вычеркнул «принцип индукции» из числа основных лемм, вследствие чего все опиравшиеся на этот принцип доказательства пришлось заменить другими. Я надеюсь, что для большинства читателей я этим облегчил усвоение книги, так как мне представляется, что этот принцип и опиравшиеся на него рассуждения предъявляли читателю в отношении логической культуры требования несколько более высокие, чем это вообще принято в настоящей книге.
Из других изменений заслуживают быть отмеченными только новая трактовка формулы Тейлора и параграфа о функциях с ограниченным изменением.
Цель настоящего пособия — помочь студенту-заочнику педагогического института овладеть приемами и методами решения задач при самостоятельном изучении курса математического анализа (разделов «Ряды» и «Дифференциальные уравнения»).
Пособие написано в соответствии с программой специальности «математика», однако им могут воспользоваться и студенты специальности «физика» (в разделе «Ряды» для них написан параграф «Ряды Фурье»).
Книга содержит больше ста решенных типовых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Прежде чем приступать к самостоятельному решению задач, необходимо по одному из учебников изучить соответствующий теоретический материал (в начале каждого параграфа настоящего пособия даются такие указания со ссылкой на главу, параграф и пункт учебника). Затем следует внимательно (с карандашом в руках) разобрать примеры решения типовых задач, после чего выписать все задачи, предназначенные для самостоятельного решения.
Краткий курс математического анализа должен, по замыслу автора, служить студентам механико-математических и физико-математических факультетов наших университетов (а в известной мере и пединститутов) основным руководством при изучении той научной дисциплины, которая в учебных планах именуется «математическим анализом».
Он содержит в себе теорию пределов и бесконечных рядов, элементы дифференциального и интегрального исчислений, а также простейшие приложения этих учений. Необходимость в таком руководстве вызвана тем, что существующие у нас сейчас учебники математического анализа в большом количестве не всегда полностью отвечают указанному назначению. Многие из них, доступные рядовому студенту, либо устарели, либо базируются на недостаточном для специалиста-математика научном фундаменте.
В то же время те учебники, которые основаны на современном уровне, зачастую представляют собой громоздкие работы, чья структура и объем выходят за рамки доступного для обычного студента I–II курсов материала. Задача курса – восполнить этот пробел, обеспечивая компактное изложение с учетом действующих образовательных стандартов.
Настоящая книга представляет собой монографию, посвящённую суммированию расходящихся рядов. Она содержит обширный исторический обзор вопроса, краткое введение в общую теорию суммирования рядов и подробное исследование ряда конкретных методов суммирования (методов Чезаро, Абеля, Вороного, Эйлера и др.).
Кроме того, здесь рассматриваются — приложения теории к задаче перемножения рядов, к исследованию формулы суммирования Эйлера-Маклорена, к аналитическому продолжению функций, к суммированию рядов Фурье и к нахождению значений определенных интегралов.
Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов — и требует для своего чтения знания теории функций действительного и комплексного переменного. В некоторых своих разделах она может быть также полезна для тех инженеров, которые встречаются с расходящимися рядами.
Высшая математика в среде студентов традиционно считается одной из наиболее трудных для усвоения дисциплин. Сложность, в основном, связана с использованием математического аппарата, методов исследования, приемов решения задач, которые значительно выходят за рамки описаний, принятых и применяющихся в привычной, «нематематизированной», жизни.
Особенно трудно приходится тем, которые, обучаясь в средней школе, по каким-либо причинам упустили основы используемых там понятий элементарной математики. Насыщенная программа вузовского обучения практически оставляет очень мало времени на восстановление имеющихся пробелов.
Времени обычно не хватает даже на осмысление вновь проходимого материала: лекции, практические занятия, контрольные, зачёты, экзамены – гонка, завершающаяся только на третьем курсе, когда математика уже “пройдена”.
«Курс чистой математики» профессора Кембриджского университета Г. Харди представляет интерес в первую очередь для лиц, ведущих преподавание математического анализа в высшей школе. Книга эта написана понятным и ясным языком и не содержит большого и сложного теоретического материала. В ней разобраны лишь, но зато с исчерпывающей полнотой и тщательностью, основные положения математического анализа, не выходящие за рамки довольно элементарных понятий.
Автор не ставил своей задачей систематическое изложение всего университетского курса математического анализа. Поэтому он умышленно обходит такие понятия, как равномерная сходимость, кратные ряды, интегрирование и дифференцирование рядов и т. п. Однако те вопросы, которые включены в книгу, рассматриваются со всей необходимой математической строгостью.
