До недавнего времени школьники, да и не только они, были убеждены в существовании двух математик — элементарной и высшей. Элементарная изучалась в школе и заканчивалась логарифмами, биномом Ньютона и задачами на применение тригонометрии в стереометрии. Она приносила немало неприятностей старшеклассникам, многие из которых выходили из стен школы с убеждением, что это не для них. И отдельно существовала высшая математика, о которой школьник в лучшем случае знал, что она изучается в вузах, что там есть векторы, дифференциалы и интеграл. В соответствии с таким делением определялось и содержание популярной литературы для школьников…
Книга посвящена неевклидовой геометрии. Изложение основано на идеях проективной геометрии и понятии абсолюта. Авторы в популярной и занимательной форме излагают основы проективной геометрии, описывают различные неевклидовы геометрии на плоскости и показывают возможность их применения в физике. Значительное место уделено жизни и творчеству художников и ученых от эпохи Возрождения до наших дней, мировоззренческим вопросам и вопросам воспитания творческой личности. Книга может быть использована во внеклассной работе в школе и для самостоятельного чтения учащимися и студентами.
В сборник включено 22 классические работы по геометрии Лобачевского и развитию этих идей. Эти работы сгруппированы по трем отделам. Первый отдел — работы самого Лобачевского, Яноша Больаи и Гаусса по неевклидовой геометрии. Второй отдел — основы теории поверхностей и интерпретации геометрии Лобачевского. Последний отдел — развитие идей геометрии Лобачевского — начинается известными работами Римана, Бельтрами, Гельмгольца, Ли и Пуанкаре об основаниях геометрии, которые были помещены в казанском издании сборника; мемуар Римана дополнен комментариями Вейля. Сборник рассчитан на читателя, имеющего математическую подготовку в объеме трех курсов университета или полного курса педагогического института; поэтому в нем имеется лишь незначительное число примечаний, поясняющих текст или дающих библиографическую ссылку.
Геометрия Кавальери, вышедшая в свет почти 400 лет тому назад, в 1635 г., после смерти автора была выпущена вторым изданием в 1653 г. и с тех пор ни разу не переиздавалась и не переводилась ни на один из языков. Главной причиной было несправедливое убеждение в чрезвычайной трудности и непонятности этой книги. Кавальери создал ряд новых геометрических представлений и придумал совершенно новую терминологию, поэтому когда (как это обычно делалось) для знакомства с Кавальери выхватывали какую-либо теорему из середины книги и пытались ее перевести, то такая попытка была заранее обречена на неудачу и должна была внушить представление о чрезвычайной трудности книги. Но если изучать «Геометрию неделимых» последовательно, начиная с первых определений, то читатель, несомненно, не найдет в ней чего-либо непонятного, и она окажется не более трудной, чем любая другая книга, оперирующая методами геометрической алгебры (как, например, книги Архимеда или Аполлония).
Родословное дерево дифференциальной геометрии уходит своими корнями по меньшей мере столь же глубоко, как родословное дерево анализа бесконечно малых. Более того, в известной степени дифференциальная геометрия даже старше анализа. В самом деле, простейшие образы и понятия дифференциальной геометрии стали объектом точного математического знания раньше, чем понятия анализа выкристаллизовались даже в первичной своей форме. В книге собраны работы Гаспара Можна по дифференциальной геометрии.
Эта книга, входящая в серию «Классики естествознания», выпускается к 100-летию со дня смерти Лобачевского. Ее цель — дать возможность широким кругам читателей ознакомиться с сочинениями великого русского математика в подлиннике. Три сочинения Лобачевского — «Геометрия», «Геометрические исследования по теории параллельных линий» и «Пангеометрия» — эта три этапа его творческой жизни, и в то же время — наиболее доступные из его работ.
Работа венгерского математика Яноша Больаи, опубликованная в виде приложения к большому сочинению его отца и потому сохранившая в математической литературе название «Аппендикс», содержит изложение основ неевклидовой геометрии. Особенно важно значение этого произведения для истории неевклидовой геометрии. Для понимания «Аппендикса» не требуется никаких специальных знаний, но он изложен настолько сжато, почти в зашифрованном виде, со множеством специальных обозначений, что читается с большим трудом. Потребовались обширные комментарии для того, чтобы это сочинение стало совершенно доступным; читатель найдет их в настоящем издании.
В 1937 году исполнилось триста лет со дня первого издания „Геометрии“ Р. Декарта, — и первый русский перевод ее оказывается, таким образом, юбилейным. Но несмотря на свой почтенный возраст, „Геометрия“ представляет и ныне интерес не только для историка науки. Блестящий образец глубокого влияния философских идей на развитие математики в XVII веке, она привлечет внимание и философов, и историков, и математиков.
Геометрия, — так же как и арифметика,— требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времён Евклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления. Настоящее исследование представляет собою новую попытку установить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом и вывести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы так, чтобы при этом стало совершенно ясно значение как различных групп аксиом, так и следствий, получающихся из отдельных аксиом.
Методы вычисления центров тяжести, или, что то же самое, центров масс (далее для разнообразия используются оба термина), составляют один из важнейших разделов статики и являются самым древним разделом механики (да и физики вообще).
Их основы были заложены знаменитым Архимедом. Его подход к этим задачам был в значительной мере геометрическим 1, и с тех пор методы нахождения центров масс простых плоских фигур составляют своеобразный раздел геометрии 2. Как и саму геометрию, их можно излагать аксиоматически.
