Имя одного из крупнейших современных специалистов в области математической логики С. К. Клинк знакомо советскому читателю по русскому переводу его фундаментального труда “Введение в метаматематику” (ИЛ, 1957), ставшего настольной книгой для всех, кто занимается математической логикой, рекурсивными функциями и основаниями математики. Новая его книга представляет собой существенно усовершенствованный, расширенный и приближенный к нуждам университетского преподавания вариант чисто логической части этой всемирно известной монографии. Тщательно продуманные иллюстративные упражнения помогают читателю усвоить излагаемый материал.
Книга может быть использована как учебное пособие по курсу математической логики в университетах и пединститутах; таким образом, она адресована прежде всего преподавателям, аспирантам и студентам. Она привлекает также внимание всех занимающихся или интересующихся математической логикой.
Небольшая монография, посвященная теории классов моделей — области математической логики, интенсивно развивавшейся в течение последних 10–15 лет. Содержание монографии — обобщение теории моделей на случай произвольного пространства истинности.
Такого рода модели сейчас широко используются в математике. Для чтения книги требуются лишь знание основ топологии и теории множеств и элементарные сведения по математической логике. Изложение сопровождается упражнениями и задачами.
Книга будет полезна не только специалистам, но и тем, кто хочет начать работать в этом плодотворно развивающемся направлении математической логики или хотя бы получить первоначальное представление о нем.
Книга американского ученого посвящена детальному изучению основных понятий математической логики на современном этапе. Она содержит общую теорию формальных систем и исчислений. После детального обсуждения общеметодологических вопросов автор последовательно описывает исчисления, содержащие импликацию, отрицание и кванторы. Последняя глава знакомит читателя с некоторыми вопросами теории модальностей. Последовательный конструктивный подход характерен для всех доказательств и определений.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области математической логики, но она, безусловно, доступна всем, кто интересуется фундаментальными проблемами этого раздела математики.
Эта книга представляет собой сборник переводов (единственное исключение составляет статья Г. Е. Минца; см. ниже) статей по теории логического вывода. Возросший за последнее время интерес к этой области математической логики вызван бурным развитием «машинной логики», в частности, появлением многочисленных работ, посвящённых машинному доказательству теорем.
В сборнике представлены как работы, ставшие уже классическими, так и некоторые работы последних лет. Из многочисленных в настоящее время исследований по теории логического вывода в сборник отобраны работы, связаннные с наиболее интересными (с точки зрения составителей) этапами развития этой теории.
Читатель, не обладающий никакими специальными сведениями по области математической логики (но обладающий некоторой математической культурой), может использовать этот сборник и в качестве учебника для систематического изучения теории логического вывода. При таком использовании можно рекомендовать следующий порядок чтения.
Под логической физикой в книге понимается раздел логики, в котором исследуется терминология, относящаяся к пространству, времени, движению, причинности и т. д. В отличие от физики и философии, в которых формулируются совокупности утверждений о пространстве, времени и движении, сфера логической физики ограничивается исключительно логическими свойствами этой терминологии и содержащих ее утверждений.
Автор рассматривает термины, обозначающие пространственный и временной порядок предметов, а также понятия индивида, структуры, эмпирической связи, движений, причинности, возможности, необходимости, вероятности, закона и т. д.
При этом анализируются известные парадоксы движения и эмпирических связей, устанавливается различие логических следствий из определений терминов и физических допущений, предлагаются логические исчисления, дающие обоснование некоторым идеям современной физики и философии.
Предлагаемая читателю книга представляет собой введение в проблематику и методы теории нумераций - нового развивающегося раздела теории алгоритмов. Насколько известно автору, впервые идею о систематическом изучении нумерованных множеств высказал А. Н. Колмогоров в середине пятидесятых годов. Реализацией этой идеи для вычислимых нумераций в то время занялся В. А. Успенский.
Основные его результаты изложены в статье 63 и в книге 10, вышедшей в 1960 году. Параллельно ряд зарубежных математиков (Райс, Деккер, Майхилл, Фридберг, Лахлан, Лакомб, Пур-Эль и др.) также занимались изучением различных вопросов, связанных с вычислимыми нумерациями. Независимо были осуществлены попытки изучения нумерованных алгебр (Фрелих — Шепердсон, Рабин), которые также обнаружили интересные специфические «нумерационные» особенности.
Предлагаемый сборник задач составлен в соответствии с программой университетского курса «Элементы математической логики и алгебры множеств».
Первые четыре параграфа посвящены двоичной булевой алгебре и ее применению в теории релейно-контактных схем, а также исчислению высказываний и предикатов. Большая часть задач двух последних параграфов связана с бинарными отношениями, которые получают все большее применение в различных областях математики.
Задачник снабжен ответами и указаниями, каждому разделу предпослано небольшое теоретическое введение.
Сборник может быть использован как пособие для учащихся юношеских математических школ и всех самостоятельно изучающих соответствующие разделы математики.
В предлагаемой вниманию читателей книге по формальной логике глава 1 написана Д. П. Горским, глава 2 — В. Ф. Асмусом, глава 3 — Д. П. Горским, главы 4—7 — П. В. Таванцом, глава 8 — Д. П. Горским, глава 9 — В. И. Степенковской и П. В. Таванцом, главы 10 и 11 — В. Ф. Глаголевым, главы 12—15 — В. Ф. Асмусом, глава 16 — Д. П. Горским.
Научно-организационная работа по подготовке книги выполнена Е. И. Басовой.
Книга не претендует на исчерпывающее изложение формальной логики. Не все проблемы формальной логики охвачены в книге, не все поставленные в ней вопросы изложены с одинаковой полнотой.
Авторы будут признательны всем товарищам, которые, ознакомившись с содержанием книги, пришлют свои критические замечания и пожелания по адресу: Москва, Волхонка, 14, Институт философии АН СССР.
Научно-популярная литература по математической логике очень обширна и рассчитана на самые различные категории читателей. Школьники или взрослые, читающие популярную литературу в свободное от работы время, могут найти в ней большое число забавных логических задач. Читатель, желающий пополнить свой математический багаж, в надежде, что это поможет в его практической деятельности, найдет в ней подробные описания практических (часто — псевдопрактических) приложений логики.
Большое число популярных книг по логике порождено надеждой, что благодаря алгебре логики все школьники наконец-таки начнут разбираться в необходимых и достаточных условиях и прочих логических вопросах школьного курса математики.
Пристрастие преподавателей математического анализа к вопросам о последовательностях, не имеющих предела, неравномерно непрерывные функции и т. д. породило руководство, содержащие основы на квантовроз рецепты автома тического (без размышлений!) построения определений логических понятий. Мы, конечно, не сможем перечислить все то, что читатель может получить в существующих книгах по математической логике.
Историю излагаемой в этой книге теоретической или математической, как правильнее ее называть, логики начинают обычно с «универсальной характеристики» Лейбница, после чего переходят к работам А. де Моргана, Буля, Джевонса, Шрёдера, Пирса, принадлежащим XIX в. И хотя это в известной мере правильно, все же, в основном, математическая логика должна быть отнесена к числу новейших научных дисциплин, характерных именно для науки XX в.
Прежде всего, в XX в. математическая логика, по существу, стала частью математики. Существует ряд соображений, в силу которых её следует называть именно математической логикой. Её рост обусловливается, в первую очередь, потребностями математики.
Создание неевклидовых геометрий, в истории которых основное место принадлежит именам соотечественников Н. И. Лобачевского, и возникновение метода множественных математических построений вывело на первый план новые принципы двоякого рода: теоретико-множественные и метод математической технологии. Наука, с одной стороны, шла к новой ведущей роли.
