Философские вопросы есть, конечно, во всякой науке. Однако известно, что специалисты разных областей знания старательно избегают вопросов этого рода. «Для того, чтобы заниматься математикой, мне совсем не требуется знать, что такое математика, — говорит иногда такой специалист-математик, — ведь этот термин не фигурирует ни в каких математических теоремах или определениях, и мне им не приходится пользоваться».
Философские взгляды ученого поэтому нередко содержатся в его работах лишь неявно. Но и в кругах философов часто заметно желание отгородиться от необходимости более специально ознакомиться с конкретными вопросами другой науки, предпочитая дело так, будто специальные вопросы других областей знания никак не могут интересовать философов.
Предлагаемая вниманию читателя книга Р. Р. Столла может быть рекомендована в качестве первоначального пособия — помимо тех категорий читателей, которые указывает в своем предисловии автор, — каждому, кто хочет ознакомиться с основными понятиями, идеями, методами и результатами математической логики и теории множеств; элементарному изложению этих вопросов посвящены первые две главы книги.
Несколько более трудна (по степени абстракции и сложности излагаемых в ней концепций) третья глава, в которой разъясняются важнейшие установки аксиоматического метода, затрагиваются проблематика оснований математики и взаимоотношения между формализованными логико-математическими теориями, их метатеориями и интерпретациями; изложение этих вопросов носит более эскизный характер, нежели в первых двух главах. Заключительная, четвертая глава иллюстрирует содержание предыдущих глав примерами и разнообразно детализирует теорию в алгебре; некоторые из аксиоматических рассмотрений этой главы, быть может, окажутся небезынтересными и для математиков.
Предлагаемое «Логическое введение в математику» предназначается для студентов первого года обучения математических специальностей педагогических институтов. Оно содержит элементы теории множеств, математической логики и их применение в математике, иллюстрированные известным из школьного курса элементарным математическим материалом. Это содержание еще не является установившимся, оно не зафиксировано в каких-либо официальных программах и может служить предметом обсуждения.
Однако предлагаемое содержание представляет собой то общее, что встречается во многих проектах такого вводного курса, целесообразность которого уже является в настоящее время общепризнанной.
Необходимость в таком логическом введении возникает потому, что средняя школа не обеспечивает (пока) своих выпускников достаточно точным пониманием логического компонента (логики) математики и способов математического мышления.
Бурное развитие математической логики во многом определяет основные тенденции научного прогресса наших дней. Ее принципы применяются не только в математике, но и в логических элементах вычислительных устройств, при машинном переводе с одного языка на другой, в сложных кибернетических системах и в других многочисленных областях и практиках.
Нынешний расцвет математической логики был подготовлен веками длительной и многообразной эволюции логических теорий и учений. Автор описывает узловые вехи в становлении и развитии наиболее ценных, с современной точки зрения, логических концепций: от материальной импликации мегарцев и стоиков до семиотики Г. Фреге и Ч. Пирса, от древнеиндийских предвосхищений вероятностной логики до идеографии Д. Пеано, от силлогистики Аристотеля до Г. Лейбница и алгебро-логических концепций XIX—XX вв.
Книга рассчитана на математиков, философов, логиков, на работников, связанных с автоматикой, моделированием, с работой счетно-решающих устройств в области физики, важных для биологов, лингвистов и др., на преподавателей и студентов разных специальностей, желающих ознакомиться с методами математической логики и историей ее формирования.
Книга предназначена для студентов и преподавателей педагогических вузов.
Она может быть использована как учебное пособие по курсу методики математики и в семинарах, посвященных актуальным проблемам преподавания математики в средней школе, с целью привлечения студентов к научно-исследовательской работе в области педагогики математики.
Исследование рассматриваемых в этой книге проблем может служить темой курсовых и дипломных работ студентов, а также материалом для проведения ими педагогических экспериментов.
Книга может быть использована и учителями в их практической работе.
Изучение принципов творческой деятельности, закономерностей эвристических процессов мышления составляет одно из важных требований, выдвинутых современной наукой. Осуществление этого требования трудно представить без совместных усилий ученых, работающих в области методологии и логики научного познания, в кибернетике, психологии, педагогике и многих других отраслях науки.
Современные достижения формальной логики также открывают интересные перспективы применения точных методов в изучении определенных аспектов эвристической деятельности. Тем не менее нередко можно встретить противопоставление строго научно построенной доказательств эвристическим принципам, которые используются в отыскании формулировок будущих теорем, в выработке ideas доказательства и т. п.
Книга, принадлежащая перу известных польских логиков, посвящена изложению основ современной формальной (математической или теоретической, или символической) логики и теории множеств для читателей гуманитарного профиля.
В ней содержится систематическое изложение широкого круга вопросов из различных разделов математической логики, разъясняются основные теоретико-множественные понятия и аппарат, а также освещаются некоторые важнейшие методологические аспекты математической логики и оснований математики.
Книга Е. Слупецкого и Л. Борковского является хорошей основой для дальнейшего изучения более трудных и обстоятельных работ по современной логике и основаниям математики.
Книга выдающегося польского математика Р. Сикорского посвящена одному из важнейших разделов современной математики — теории булевых алгебр. Это наиболее полное изложение теории булевых алгебр с теоретико-множественной точки зрения. В книге, по-видимому, впервые систематически изучаются булевы алгебры с бесконечными операциями.
Последний раздел (дополнение) содержит многочисленные применения булевых алгебр к другим областям математики. Книга написана очень просто и подробно. Она вполне доступна и полезна широким кругам математиков, а также физикам и инженерам.
Новая область математики — теория моделей получила интенсивное развитие в последние двадцать лет. В книге известного математика Дж. Сакса содержится тщательное изложение и классических, и новейших результатов теории; большой интерес представляют результаты о рангах формул и типов, о простых моделях, о насыщенных и однородных системах. Эта теория позволила решить многие задачи, казавшиеся ранее неприступными.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов математических факультетов университетов, а также высших учебных заведений, готовящих специалистов по прикладной математике.
Название этой книги — вовсе не каламбур, как это может показаться на первый взгляд.
Математика — это теория, изучающая формализованные математические теории. Формализованная теория — это, грубо говоря, множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, и множество некоторых простых операций, производимых над этими последовательностями.
Формулы и термы, получаемые с помощью нескольких простых правил, служат заменой для предложений и функций интуитивной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам интуитивной теории, играют особую роль — они являются аксиомами формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам теории.
