В математике часто рассматриваются множества, между элементами («точками») которых определено расстояние (метрика). Такие множества называют метрическими пространствами, если выполнены соответствующие аксиомы. Существует много разных способов определить расстояние в разных множествах. В брошюре обсуждается, как можно измерять расстояние не только между точками на плоскости, но и между кривыми, множествами, функциями. Важным примером расстояния между кривыми является хаусдорфова метрика. Многие метрические пространства разительно отличаются от привычной евклидовой плоскости. Примером метрики с необычными свойствами может служить p-адическая метрика, относящаяся к классу так называемых неархимедовых метрик.
Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором 17 февраля 2001 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов (запись Р. К. Ахунжанова).
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей…
Монография находится на стыке нескольких классических разделов математики: теории особенностей, топологии, алгебраической и интегральной геометрии, комплексного анализа, уравнений математической физики. Она содержит введение в теорию Пикара-Лефшеца и локальную теорию особенностей, которые управляют качественным поведением функций, заданных интегральными преобразованиями. Приводятся оригинальные приложения к проблемам интегральной геометрии, теории гиперболических операторов в частных производных, теории потенциала и обобщениям гипергеометрических функций.
Книга современного американского математика, посвященная одному из необычных аспектов современной топологии: умению иллюстрировать рисунками топологические работы. Автор разработал специальную графическую технику, которая проста и удобна в обращении и может применяться и в педагогической практике. На многочисленных примерах автор объясняет ряд важных топологических идей, которые оказываются интересными не только в топологии, но и в других областях математики. Элементарный характер изложения позволяет использовать книгу при первом знакомстве с топологией.
Для математиков и физиков разного уровня подготовки.
Содержит материал, составляющий основу топологических знаний. Излагаются понятия и теоремы общей и гомотопической топологий, дается классификация двумерных поверхностей, основных понятий гладких многообразий и их отображений, рассматриваются элементы теории Морса и теории гомологий с приложениями к неподвижным точкам.
Целью пособия является формирование современных теоретических знаний в области геометрии,
топологии и практических навыков исследования на основе теории топологических пространств
Предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям 44.03.05
«Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)», профили «Математика»,
«Информатика» и «Математика», «Физика»; 01.03.04 «Прикладная математика», профиль
«Математическое моделирование в экономике и технике»
Целью пособия является формирование современных теоретических знаний в области геометрии,
топологии и практических навыков исследования на основе теории топологических пространств
Предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям 44.03.05
«Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)», профили «Математика»,
«Информатика» и «Математика», «Физика»; 01.03.04 «Прикладная математика», профиль
«Математическое моделирование в экономике и технике».
В монографии рассмотрены вопросы грубости и бифуркаций динамических систем, в особенности рассматриваются синергетические системы и хаос различной физической природы. Представлены основные положения теории и метода топологической грубости, разработанной автором книги. Использование результатов полученных автором, показываются на примерах известных синергетических систем, таких как системы Лоренца, Рёсслера, Белоусова, Жаботинского, цепи Чуа, преобразования Хенона, «хищник-жертва», модели экономических систем Калдора и Шумпетера, динамо Рикитаке, а также бифуркации Хопфа. Книга предназначена для широкого круга исследователей и ученых, которые интересуются синергетикой и хаосом систем различной физической природы, а также студентам физико-математических, естественнонаучных и технических специальностей, изучающих проблемы синергетики и динамических систем.
Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором в Летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2005 г. В первой части описывается возможное поведение типичных динамических систем на плоскости и двумерной сфере, т. е. рассматривается вопрос о том, куда могут накапливаться траектории динамической системы. Вторая часть брошюры рассказывает о том, что многомерный случай принципиально отличается от двумерного — анализируется пример отображения (подкова Смейла) со счётным числом периодических орбит, не исчезающих при малом возмущении.
От читателя не потребуется никаких знаний из теории дифференциальных уравнений, предполагается лишь знакомство с понятием производной. Брошюра адресована старшим школьникам и студентам.
