Настоящий курс построен в соответствии с программами механико-математических и физико-математических факультетов университетов и пединститутов. Различие этих программ нашло свое отражение в том, что ряд абзацев, параграфов и одна глава книги отмечены звездочкой. При использовании курса в пединститутах весь отмеченный таким образом материал может быть выпущен, что не отразится на цельности остального изложения.
От своего первого издания (Дифференциальная геометрия. Учпедгиз, 1948) книга отличается некоторой перестановкой материала, незначительными добавлениями, изменением некоторых обозначений и изменением принципов нумерации параграфов и формул. Кроме того, исправлены многочисленные ошибки и опечатки первого издания, за которые автор не несет ответственности, так как он был лишен возможности ознакомиться с корректурами этого издания.
В постановках задач классической дифференциальной геометрии выделяются два направления: одно из них ставит своей целью изучение локальных свойств геометрических объектов, в то время как второе основное внимание уделяет их глобальным свойствам. Первое из этих направлений привело в XIX веке к созданию дифференциальной геометрии «в малом», которая, по существу, представляет собой систематическое применение аппарата математического анализа к геометрии как в определении основных понятий, так и в методах решения задач.
Второе направление привело к дифференциальной геометрии «в целом», исследующей геометрические объекты на всем протяжении, а не только в отдельных отмеченных точках. Простейшим примером таких объектов является сфера или любая замкнутая поверхность. В то время как методы решения задач «в малом» большую часть уже фактически определены и поставлены, для решения задач геометрии «в целом» средств классической дифференциальной геометрии, как правило, оказывается далеко не достаточно.
Электронная версия книги свободно распространяются в сети Интернет, она бесплатна для персонального использования и учебных целей. Любое коммерческое использование без письменного согласия автора запрещено.
Книга представляет собой учебное пособие по основному курсу дифференциальной геометрии и предназначена для первоначального знакомства с этой дисциплиной.
Подготовка книги к изданию выполнена методом компьютерной верстки на базе пакета AMS-TEX от Американского Математического Общества. При этом были использованы кириллические шрифты семейства Lh, распространяемые Ассоциацией CyrTUG пользователей кириллического TEX’а.
Аннотируемая книга представляет собой первое в нашей литературе сочинение по проективно-дифференциальной геометрии. Начиная с простейших понятий проективной геометрии, автор подробно излагает общую теорию (работы Вильчинского, Грина, Фубини, Чеха и др.), развивая ряд специальных вопросов геометрии поверхностей и конгруций (проективное изгибание поверхностей и конфигураций, асимптотические преобразования, расстояние пары конфигураций). Во всех исследованиях автор реализует общую идею выбора специальных систем локальных координат, инвариантно связанных с геометрическими объектами.
Книга рассчитана на читателя, вполне владеющего основами анализа и дифференциальной геометрии. Основной контингент её читателей — студенты, интересующиеся геометрией, аспиранты и научные работники.
Метод внешних форм и подвижного репера — одна из наиболее ярких, многообещающих теорий современной дифференциальной геометрии. Он применяется с одинаковой лёгкостью в классической теории поверхностей и в геометрии n-мерного кривого пространства; им особенно удобно пользоваться в геометриях Клейна с другой фундаментальной группой, а при доказательстве существований он незаменим.
В настоящее время, если не считать мемуаров самого Картана, не менее половины работ, основанных на применении его φ-исчисления, сделано в Москве. Докторские диссертации Д. И. Перепёлкина, С. В. Вахвалова и отчасти С. Д. Россинского написаны методом Картана. Этим методом пользуется С. С. Бюшгенс в своём последнем большом исследовании по геометрии стационарного потока. Им работает Г. Ф. Лаптев на своём семинаре по геометрии пространства.
На семинарах Московского университета Н. Н. Тихонскоги, В. М. Прокофьева, Н. А. Алексеева, Т. Л. Козминой и ряд статей других авторов (П. Н. Глаголев, Т. А. Шульман, Г. М. Бамашникова, А. М. Васильева, А. А. Акинчина) — и в докладных записках, и в стенограммах докладов записанных на семинарах классической дифференциальной геометрии Московского университета.
Геометрическое место точек называется регулярным куском линии, если в достаточно малой окрестности каждой точки оно представляет простую дугу.
Простая дуга определяется двумя условиями:
Остановимся на первом условии. Более точно оно выражается словами: простая дуга гомеоморфна отрезку прямой, где под гомеоморфизмом понимается взаимно однозначное, непрерывное соответствие точек дуги и отрезка прямой.
Следовательно, дуга AB гомеоморфна отрезку ab, если каждой точке t отрезка ab соответствует одна определенная точка M дуги, и обратно, каждой точке M дуги соответствует одна точка отрезка ab, и это соответствие непрерывно.
Если ρ(y, Y) = 0, то y — точка прикосновения Y. Замыкание Y называется ( \bar{Y} ) = {множество точек прикосновения Y}. Очевидно, что Y ⊆ ( \bar{Y} ). Множество Y называется замкнутым, если Y = ( \bar{Y} ). Точка x называется внутренней точкой Y, если существует ε > 0 такое, что Bε(x) ⊂ Y (в частности, x ∈ Y). Внутренностью Y называется совокупность Int Y ⊆ Y его внутренних точек. Множество Y называется открытым, если Y = Int Y.
Книга известного американского математика содержит современное изложение основ теории дифференцируемых многообразий, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии, а также теории группы Ли.
Для чтения её достаточно знаний начального университетского курса. Книга заинтересует математиков самых различных специальностей.
Этот задачник содержит задачи по теории кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве.
Он предназначен для студентов физико-математических факультетов университетов и пединститутов.
При подготовке к 3-му изданию учебник подвергся значительной переработке, главным образом с целью некоторых улучшений в методике изложения, в расположении и планировке материала, в выборе доказательств и т. д. Особенное внимание было обращено на отчетливое выделение основного, минимального материала курса. Для этого все остальные темы (а они, как правило, близко примыкают к минимальному материалу и могут быть в том или ином выборе присоединяемы к нему) отнесены в параграфы, отмеченные звездочкой.
Что же касается самих фактических сведений, сообщаемых в курсе, то здесь изменения незначительны. Имеются лишь отдельные небольшие добавления: особые точки в случае параметрического представления кривой; построение соприкасающейся окружности предельным переходом; параметр распределения и горловая линия эллиптической поверхности.
К курсу включены также исторические сведения.
Считаю своим долгом выразить глубокую признательность редактору книги А. З. Рыбкину за его исключительно плодотворную совместную работу над текстом и сделанные им ценные замечания.
