Предлагаемый сборник задач по высшей алгебре возник в результате преподавания в Ленинградском государственном университете и Педагогическом институте им. Герцена. Сборник предназначен для студентов младших курсов университетов и педагогических институтов при прохождении ими основного курса высшей алгебры.
Задачи сборника довольно резко разделяются на два типа. С одной стороны, собрано большое количество численных примеров, предназначенных для выработки вычислительных навыков и иллюстрирующих основные положения теоретического курса. Количество примеров, по мнению авторов, вполне достаточно для аудиторной работы, работы на дому и для контрольных работ.
В основу настоящего сборника положен «Сборник задач по высшей алгебре» Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, 2-е издание (1949 г.), в дальнейшем издававшееся стереотипно. Однако он существенно переработан. Включены два новых отдела — элементы теории чисел и элементы теории групп, сильно тематически расширены отделы, посвященные линейной алгебре. Во все главы включены примеры, связанные с полями и кольцами вычетов. Много задач исключено.
Изменена и планировка глав. По-прежнему сохранено два концепта в линейной алгебре: первый (главы III, IV) носит формально-калькулиативный характер, а второй (глава VIII) геометрический. Сокращены подробные решения. Для задач, снабженных указаниями (они отмечены звездочкой), текст решения часто является непосредственным продолжением текста указания.
Как показывает заглавие, книга эта должна быть рассматриваема не как систематическое руководство (kompendium), но как введение в высшую алгебру, и потому в ней была сделана попытка положить достаточно широкое основание для того, чтобы читатель оказался в состоянии с пониманием продолжить дальнейшее изучение; это представилось более полезным, чем трактовать какие-либо главы вполне исчерпывающим образом.
Вряд ли необходимо оправдывать пропуск даже столь важных частей, как теория Галуа, и систематическое изучение инвариантов; так как выбор был необходим, то для изложения был предпочтен тот материал, который оказывается особенно важным в геометрии и в анализе так же, как и в алгебре, причем было обращено особое внимание на связь алгебраической теории и геометрии.
Но при этом надлежит заметить, что прежде всего трактуются вопросы алгебраического характера, а не аналитическая геометрия, так что геометрические исследования носят по преимуществу отрывочный и несколько случайный характер
В жизни «перестановками» называют самые разные вещи; эта книжка содержит начальные сведения о том, что математики называют «группой перестановок конечного множества». Мы покажем, как можно разделить перестановки на «чётные» и «нечётные» и как это помогает проанализировать известную головоломку c 15 фишками в квадрате 4×4, как перестановка разлагается в циклы и почему это бывает полезно, почему повторение одного и того же действия с «кубиком Рубика» рано или поздно вернёт его в исходное положение, и разберём задачи, при решении которых перестановки оказываются полезными. Обычно эти вопросы относят к курсам «высшей алгебры» для студентов младших курсов, но они вполне элементарны, и никаких сведений, выходящих за пределы средних классов школы, мы не используем. (Хотя, конечно, привычка к несложным математическим рассуждениям пригодится.
