Первые три книги «Энциклопедии элементарной математики» (сокращенно ЭЭМ), посвящённые арифметике, алгебре и анализу, вышли свыше десяти лет тому назад. Теперь после долгого перерыва редакция решила завершить этот труд. За эти годы коллектив сотрудников ЭЭМ понёс большие потери.
В 1959 г. после продолжительной болезни скончался Александр Яковлевич Хинчин; ещё раньше мы потеряли Дмитрия Ивановича Перепёлкина, участвовавшего в составлении геометрических книг. То, что издание удалось всё же возобновить, является результатом большой работы, проделанной Владимиром Григорьевичем Болотянским и Исааком Моисеевичем Яглом.
В настоящей книге разобрано применение одного из понятий механики — понятия центра тяжести — к математике и химии (задачи на смеси, сплавы). В каждом параграфе текстам задач предшествует изложение необходимых теоретических сведений.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, прежде всего на школьников старших классов; она будет полезна также учителям средней школы, руководителям школьных математических кружков, студентам физико-математических факультетов.
Настоящая книга составлена на основе опыта чтения авторами обязательных и факультативных курсов элементарной геометрии в педагогических институтах и предназначена служить учебным пособием для студентов физико-математических факультетов при изучении ими специального курса элементарной математики. Этим определяется объём данной работы и характер изложения.
Глава I посвящена вопросам обоснования конструктивной геометрии. Здесь выясняется содержание основных понятий, даётся аксиоматика этого раздела геометрии, излагается методика решения геометрической задачи на построение.
Главы II—VI посвящены изложению основных методов геометрических построений. Эти методы опираются на изучение геометрических мест точек, простейших геометрических преобразований и применение алгебры. Несколько полнее, чем это обычно делается, рассмотрен в главе VI вопрос о возможности построения алгебраических выражений.
В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности.
Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это прежде всего относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей.
В настоящей лекции изложены важнейшие конфигурационные теоремы на плоскости и их применение к решению некоторых практических задач. У читателя предполагаются лишь самые элементарные знания по планиметрии и стереометрии.
Необходимые сведения о центральной проекции и неособенных элементах пространства приводятся в самой лекции. Лекция будет полезной не только для школьного математического кружка, но и для топографа и геодезиста.
Появление настоящей книги вызвано желанием представить в связном изложении и с некоторой полнотой интересные и особенно увлекательные для начинающего методы и теории решения геометрических задач на построение. При этом не предполагается никаких более или менее подробных сведений из высшей математики; все необходимые вспомогательные теоремы будут приведены; доказательство их, впрочем, часто будет лишь намечаться, так что сведущий читатель не утомится, а начинающий будет побуждаем доказать эти простые предложения.
Для того чтобы книга удовлетворяла своему назначению — быть учебником, она снабжена многочисленными задачами для упражнений, решение которых по большей части вкратце указывается. Часть учебного материала разбита по задачам, так что читатель, несмотря на умеренный объем книги, будет ориентирован во всех чисто геометрических вопросах, связанных с геометрическими построениями.
Книга И. И. Александрова “Сборник геометрических задач на построение” является классическим трудом, завоевавшим глубокую признательность широких математических кругов всего мира.
Книга может служить хорошим пособием для учителей средней школы, а также и для учащихся старших классов средней школы.
Книга посвящена тем свойствам коник (кривых второго порядка), которые формулируются и доказываются на чисто геометрическом языке (проективном или метрическом). Эти свойства находят применение в разнообразных задачах, а их исследование интересно и поучительно.
Изложение начинается с элементарных фактов и доведено до весьма нетривиальных результатов, классических и современных. Раздел «Некоторые факты классической геометрии» является содержательным дополнением к традиционному курсу евклидовой планиметрии, расширяющим математический кругозор читателя.
Книга демонстрирует преимущества чисто геометрических методов, сочетающих наглядность и логическую прозрачность. Она содержит значительное количество задач, решение которых тренирует геометрическое мышление и интуицию.
Книга может быть полезна для школьников старших классов, студентов физико-математических специальностей, преподавателей и широкого круга любителей математики.
Школьный курс алгебры представляет собой своеобразное соединение сведений из различных отделов математики.
Сюда входят: обобщение понятия числа (последовательное построение системы рациональных, действительных и, наконец, комплексных чисел), отнесённое нами к арифметике (см. статью И. В. Проскурякова в первой книге); изучение кольца многочленов и поля рациональных функций (охватывающее так называемые тождественные преобразования рациональных выражений) и решение алгебраических уравнений в простейших случаях, т. е. собственно алгебраический материал, отнесённый к настоящей книге; сведения о некоторых элементарных неалгебраических функциях — степенной, показательной, логарифмической, о пределах, последовательностях и простейшем ряде (геометрическая прогрессия), т. е. материал из области анализа (см. третью книгу настоящего издания), и, наконец, элементы комбинаторики, отнесённые нами в шестую книгу, где читатель найдёт также и основные сведения из теории вероятностей.
Таким образом, читатель, заинтересованный научными основами школьного курса алгебры, должен знать, что он найдёт эти основы не в одной, а в нескольких книгах «Энциклопедии элементарной математики» и именно в книгах «Арифметика», второй, третьей и шестой, под названиями «Арифметика», «Алгебра», «Анализ» и «Разные вопросы».
Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углубленным изучением математики, интересующихся точными науками.
Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим математику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы.
Основу сборника составляют задачи, к курсу алгебры, который в 1995— 2000 годах читался в школе-интернате им. А. Н. Колмогорова.
