Всякий вычислительный процесс складывается из преобра- зований групп знаков, выполняемых в соответствии с некоторым алгоритмом. В математике вводятся в рассмотрение группы знаков разнообразных типов. В одних случаях они являются объектами изучения, в других случаях — техническими средствами, применяемыми для записи алгоритмов, понятий, суждений и т. п.
При этом определении групп знаков, относящихся к какому-либо конкретному типу, обычно осуществляется посредством задания тех или иных правил конструирования. Правила конструирования позволяют развертывать процессы построения вводимых в рассмотрение объектов, исходя из некоторых элементарных знаков. Объекты, определяемые этим методом, характеризуются как результаты развертывания порождающих процессов, основывающихся на заданных правилах конструирования.
В ходе развития теории множеств, которая является основой построения большинства математических дисциплин, возникли чрезвычайно сложные проблемы непротиворечивости. Книга представляет собой наиболее полный из существующих обзор исследований, вызванных к жизни этой проблематикой; в ней описываются и сравниваются между собой все важнейшие системы аксиоматической теории множеств. Большое внимание уделено приложению идей и методов математической логики в различных направлениях исследований по основаниям математики (логизм, интуиционизм, формализм).
Книга, снабженная обширным списком литературы, представляет ценность для математиков, занимающихся основаниями математики и связанными с ними вопросами математической логики, а также для философов и представителей других специальностей, имеющих отношение к методологическим проблемам математики.
В основу учебника положен курс логики, читавшийся на философском факультете Ленинградского университета в течение ряда лет.
В нем освещаются вопросы, относящиеся к общей и символической логике. Учебник предназначен для студентов-философов и студентов других гуманитарных факультетов и педагогических вузов.
Эта монография принадлежит перу одного из самых известных современных специалистов в области математической логики. Она задумана автором в качестве учебника для студентов, а также в известной мере в качестве справочника.
Предполагая у читателя только общую математическую культуру, книга с первых же страниц вводит его в глубокую проблематику, связанную с основными понятиями математической логики. Изложенный в ней материал представляет ценность для всякого математика, в том числе и для специалиста по математической логике. В качестве справочника ею могут пользоваться также и нематематики.
Содержавшееся в этом томе Введение (стр. 15—63) по существу представляет собой самостоятельное литературное произведение, которое с интересом и пользой может читаться самым широким кругом научных работников, интересующихся вопросами математической логики.
Развитие современной науки все с большей необходимостью ставит вопрос о тесном союзе естествоиспытателей, математиков и философов.
Необходимость укрепления союза естествознания, математики, с одной стороны, и марксистской философии — с другой, еще более возрастает в связи с принятием XXII съездом КПСС новой программы строительства коммунизма в нашей стране.
Н. С. Хрущев в докладе «О программе Коммунистической партии Советского Союза» отмечает, что «коммунистическое общество будет иметь самую развитую технику, самое развитое и организованное производство, самые совершенные машины». В связи с этим в огромной мере возрастает значение комплексной механизации и автоматизации производства.
Новая Программа КПСС подчеркивает важное значение формирования передового научного коммунистического мировоззрения в условиях развернутого строительства коммунизма, что обусловливает повышение роли и ответственности наук, в том числе и марксистской философии.
Понятия алгоритма и вычислимой функции являются одними из центральных понятий современной математики. Их роль в математике середины XX в. можно, пожалуй, сравнить с ролью понятия множества в математике конца XIX в.
Настоящие «Лекции» посвящены изложению основ теории вычислимых функций (проводимому на базе принятого в настоящее время отождествления их — для случая функций с натуральными аргументами и значениями — с частично-рекурсивными функциями), а также некоторым приложениям этой теории.
В 1961 г. в Хаарлеме (Нидерланды) вышла небольшая книжка «Exacte logica» («Точная логика»). Автор ее профессор Х. Фрейденталь — известный голландский математик с весьма широкими интересами; развивая традиции отечественной школы интуиционистов, он еще в 30-е годы внес существенный вклад в построение интуиционистской топологии; в последние годы большую популярность завоевала книга Фрейденталя «Lincos» («Lingua cosmica»), описывающая предложенный им «космический язык».
«Exacte logica», впрочем, рассчитана на читателей, в большинстве своем не только ничего не слышавших ни про интуиционизм, ни про топологию, ни про математическую лингвистику (о космосе, правда, в наши дни говорят с детства…), но и о логике знающих лишь то, что это что-то средневековое…
Но за последнее время слово «логика» (да еще с эпитетом «математическая») нежиданно вошло в моду; журналисты, физики и лирики приучили своих читателей ассоциировать его с всевозможной кибернетикой. Совсем ничего не знать о логике в современном смысле этого слова становится уже как-то непривычно, старомодно, что ли. Но в школу логике не учат. Специальные учебники по логике для школ чем-то слишком трудны, чтобы считаться их «уроком образования».
Понятие модели возникло в математике еще в девятнадцатом веке. Вплотную к нему подошел Н. И. Лобачевский, но в полной мере оно появилось в работах Э. Бельтрами и Ф. Клейна, посвященных непротиворечивости геометрии.
В дальнейшем понятие модели развивается и уточняется в связи с развитием формальных теорий и становится одним из основных понятий семантики символических языков.
Современная формулировка понятия модели и других понятий семантики (например, понятия истинности формулы узкого исчисления предикатов, понятия теории классов алгебраических систем и др.) сложилась в конце двадцатых и в начале тридцатых годов в работах Д. Гильберта и А. Тарского.
Книга известного польского математика и логика А. Тарского, представляющая собой популярное введение в математическую логику и методологию дедуктивных наук, заслуживает внимания советского читателя.
Вышедшая в 1936 г. на польском языке, она появилась в 1937 г. в немецком переводе, но была выпущена известным немецким книгоиздательством Шпрингера не в Германии, а в Вене. Правда, это не помогло издательству: часть издания, которую оно не успело распространить до “аншлюса”, так и осталась лежать на его складах… по соображениям расового порядка. В 1941 г. просмотренное и дополненное издание книги вышло на английском языке в Нью-Йорке. С этого издания и выполнен русский перевод.
Проблема взаимоотношения формальной логики и философии, возникающая вместе с возникновением формальной логики, и сейчас привлекает к себе внимание как советских, так и зарубежных философов и логиков.
Интерес к этой проблеме определяется рядом обстоятельств, среди которых в первую очередь должно быть отмечено возникновение диалектической логики.
С возникновением диалектической логики по-новому встал вопрос об отношении формальной логики к философии. Как бы ни трактовать вопрос о предмете диалектической логики, несомненным является тот факт, что она, будучи логикой, занимается исследованием философских вопросов. Отсюда следует, что логика (или часть логики, какой-то вид логики) есть вместе с тем и философия либо, по крайней мере, часть философии. Спрашивается: является ли формальная логика частью логики диалектической или нет?
Если формальная логика есть часть диалектической логики, то, очевидно, она должна быть частью философии. Если же формальная логика не является частью диалектической логики (если она изучает совершенно иные проблемы), чем логика диалектическая, то она в определенном смысле выходит, уходит за границы диалектической логики, приобретает право на самостоятельное существование, т. е. может быть наукой без своего особого предмета исследования.
