В настоящее время теория эллиптических функций распадается на две части, резко отделяющиеся одна от другой: в первой эллиптические функции рассматриваются только как зависимости от аргумента, во второй и от модуля. В германской математической литературе за последнее время появилось два капитальных труда, посвящённых этой второй части теории эллиптических функций, а именно: Felix Klein, “Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen”, ausarbeitet und vervollständigt v. Dr. Robert Fricke. 2 Bände, Leipzig, Teubner, 1890—1892, и “Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen”, академические Vorlesungen von H. Weber, Braunschweig, Vieweg und Sohn, 1891. Во французской литературе есть капитальный труд Галфена, а именно “Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications”, par E. Г. Halphen, Paris, посвящённый главным образом первой части той же теории, хотя и содержит в последнем своём отделении ясные очерки второй части. Второй том посвящён исключительно второй части этой теории. Наше внимание в настоящей статье направлено на вторую часть этой теории.
В книге излагаются свойства ортогональных многочленов Чебышёва, Лежандра, Чебышёва — Эрмита, Чебышёва — Лагерра и общих многочленов Якоби. С доказательствами приводятся асимптотические формулы для этих многочленов и теоремы о разложении функций в ряды Фурье по каждой из названных систем.
Рассмотрено большое число примеров разложения функций в ряды Фурье по этим классическим ортогональным многочленам. Изложены применения этих многочленов в вычислительной математике, математической физике, квантовой механике, а также в некоторых технических задачах.
Во второе издание книги (первое вышло в 1976 г.) внесены некоторые дополнения и, в частности, включена отдельная глава, содержащая простейшие сведения из теории приближения функций.
Широкие круги советских учёных впервые услышали имя выдающегося венгерского математика Габора Серё в 1925 г., когда вышла в свет замечательная книга Г. Поля и Г. Серё “Задачи и теоремы из анализа”; она была переведена на русский язык в 1937 г. и переиздана в 1956 г. Однако учёные, работающие в области теории функций и общей теории ортогональных многочленов, знали труды Г. Серё в этой области ещё с момента, когда они начали появляться в 1917 г.
Теория ортогональных многочленов неизменно привлекала и привлекает к себе внимание математиков и физиков всего мира — достаточно указать, что в библиографии по теории ортогональных многочленов Я. Шохата, Э. Хилле и Дж. Уолша 1, вышедшей в 1940 г., приведено около двух тысяч работ в этой области. Такой интерес к этим вопросам объясняется тем, что система ортогональных многочленов является простейшей — после тригонометрической системы — системой ортогональных функций и потому является весьма ценным аппаратом для приближённого представления функций более сложной природы. Во многих случаях разложение функции в ряд ортогональных многочленов возможно при меньших ограничениях, необходимых для её ряда разложения в ряд Маклорена.
Например, если функция регулярна на отрезке [-1, +1], то для сходимости её ряда Маклорена на всем отрезке она должна быть регулярна в круге |z| ≤ 1. Таким образом, разложение в ряд многочленов Лежандра может оказаться более предпочтительным, если только функция регулярна внутри любого малого эллипса с фокусами в точках ±1. Основы общей теории ортогональных многочленов были заложены П. Л. Чебышёвым в 1850–1859 гг., а стандартные системы ортогональных многочленов (Якоби, Лагерра и Эрмита) были детально проработаны ещё до Г. Серё. Однако работы Г. Серё значительно способствовали дальнейшему развитию этой теории и создали принципиально новый метод исследования.
В книге излагаются основы теории специальных функций, наиболее часто встречающихся в приложениях.
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и инженеров-исследователей, сталкивающихся в своей работе с применением этих функций. Она может быть использована также в качестве справочника и как учебное пособие при изучении ряда дисциплин, входящих в программу высшей школы.
Эта книга является попыткой единообразно рассмотреть синусы (круговой, гиперболический, лемнискатический и синус Якоби) как частные случаи так называемого обобщённого синуса — функции, обратной по отношению к некоторому интегралу.
Она требует определённой математической культуры и рассчитана на достаточно подготовленных читателей, владеющих математическим анализом в объёме вузовского курса математики.
Эта книга посвящена теории часто встречающихся в приложениях специальных функций — гипергеометрической, вырожденной гипергеометрической, сферических и цилиндрических функций. При сравнительно небольшом объеме она содержит очень богатый материал, охватывая почти все формулы, необходимые для практической работы с этими функциями. Изучение всех указанных функций ведется в комплексной области с использованием аналитической теории дифференциальных уравнений.
Книга будет полезна всем, встречающимся в практической деятельности со специальными функциями: физикам, инженерам, специалистам по прикладной математике. Она интересна также студентам и аспирантам университетов и технических вузов с повышенным курсом математики.
Книга Кузьмина Р. О., профессора Ленинградского гидротехнического института, является первой на русском языке, по Бесселевым функциям. Материал книги разбит на три главы. В первой главе автор дает в сжатом виде изложение теории Эйлерова интеграла второго рода (Гамма-функция) и его связь с интегралом первого рода (Бета-функция), останавливаясь более подробно на выводе тех результатов, которые являются наиболее важными.
Вторая и третья главы посвящены собственно Бесселевым функциям и их приложениям. В них автор дает: решения (интегралы) дифференциального уравнения Бесселя, различные виды этих решений (глава вторая) и показывает, каким образом сам Бессель пришел к уравнению, которое носит теперь его имя (глава третья). В конце книги помещены таблицы Бесселевых функций, являющиеся не только наиболее полными в русской литературе, но некоторые из них появляются вообще впервые.
Книгу можно рекомендовать студентам старших курсов физматфакультетов, аспирантам и инженерам.
Книга рассчитана на лиц, интересующихся функциями Бесселя с точки зрения их приложений. В первой части книги излагаются основы теории бесселевых функций. Здесь рассматриваются свойства бесселевых функций: представления функций в виде степенных рядов, интегральные представления, асимптотические разложения, функциональные уравнения типа вронскианов, формулы сложения и др.
Наряду с этим подробно рассматриваются дифференциальные уравнения второго и четвертого порядка, приводные к уравнениям Бесселя, а также неоднородные уравнения Бесселя; излагаются основные сведения о функциях, родственных функциям Бесселя, и о функциях Ломмеля двух переменных. Сравнительно полно рассматриваются несобственные интегралы, ряды Фурье — Бесселя и ряды Шлеммильха Приводятся решение парных интегральных уравнений, основанные на использовании аппарата теории бесселевых функций.
Вторая часть книги, основанная главным образом на работах автора, посвящена приложениям бесселевых функций, она содержит решения задач, связанных с кручением, а также, к теории упругости и колебаниям упругих систем. Книга написана простым языком и ее основная часть вполне доступна лицам, имеющим образование в объеме втуза.
В книге с единой точки зрения изложены основные результаты работ последних лет по теории и применениям сфероидальных и родственных им кулоновских сфероидальных функций. Кулоновские сфероидальные функции как класс специальных функций последовательно определены и рассмотрены впервые.
В книге представлены аналитические свойства сфероидальных и кулоновских сфероидальных функций, их асимптотические разложения и алгоритмы вычисления на ЭВМ. Рассмотрены приложения этих функций в квантовой механике, теории дифракции и оптике.
Книга носит справочный характер. Она предназначена для физиков и специалистов по прикладной математике, радиотехнике и квантовой химии.
В настоящей книге дается краткое, но достаточно строгое изложение теории основных специальных функций. Чтение книги требует знания курса высшей математики и элементов теории функций комплексного переменного в объеме вузовских программ.
Материал в книге расположен и изложен таким образом, что, в случае необходимости, некоторые параграфы могут быть опущены без ущерба для понимания остальных параграфов; в частности, это относится к параграфам, в которых применяется теория функций комплексного переменного.
Книга может быть использована студентами и аспирантами; а также — инженерами и научными работниками.
