Книга содержит лекции виднейших специалистов в области алгебраической теории чисел, охватывающие широкий круг вопросов этой теории — от ее классических разделов до самых последних достижений. Особенно подробно рассматриваются локальная и глобальная теории полей классов; излагается как история вопроса, так и его современное состояние.
Книга представляет большой интерес в первую очередь для специалистов в области алгебраической теории чисел. Однако она будет полезна и для математиков, интересующихся смежными областями, такими, например, как алгебраическая геометрия, теория чисел, теория автоморфных функций, теория алгебраических групп. Книга доступна для аспирантов и студентов старших курсов университетов и педагогических институтов.
Книга Касселса является одной из немногих в мировой литературе, а на русском языке чуть ли не единственной монографией по одному из важных разделов современной теории чисел — теории диофантовых приближений.
В этой теории изучаются, в частности, вопросы наилучшего приближения иррациональных чисел рациональными: тонкое строение “арифметической прямой” и “арифметического пространства”. Теория диофантовых приближений находит многочисленные приложения в других разделах математики, например в теории функций, в теории динамических систем и др.
Очень ясно и сжато написанная книга Касселса будет полезна студентам, аспирантам и научным работникам-математикам.
Автор настоящей книги — известный английский математик, знаком советскому читателю по переводу его монографии “Введение в теорию диофантовых приближений” (ИЛ, 1961).
Его новая работа посвящена геометрии чисел — одному из важных разделов современной теории чисел — и является единственной в мировой литературе современной монографией в этой области математики.
Небольшая книга Ингама представляет собой монографию, посвященную одному из основных вопросов теории чисел.
Она может служить хорошим введением в аналитическую теорию чисел, не предполагая у читателя предварительного знакомства с теорией чисел. Книгу могут читать студенты старших курсов университетов, аспиранты и научные работники.
Предлагаемая книга имеет в своей основе курс лекций по теории чисел, которые я в течение ряда лет читал в Московском Университете.
Она содержит почти исключительно только самые основные результаты, вернее даже элементы теории чисел, как это можно усмотреть из самого заглавия; только последняя глава выходит несколько из области элементов и дает краткий очерк основных результатов арифметики многочленов, но и то я ограничиваюсь здесь почти всецело теми положениями теории, которые представляют полную аналогию с соответствующими теоремами элементарной арифметики и теории сравнений.
Я полагаю, что знакомство с этими результатами полезно не только само по себе, но и для лучшего усвоения соответствующих положений элементарной теории чисел.
Высшая арифметика, или теория чисел, изучает свойства натуральных чисел 1, 2, 3, … Эти числа интересуют человека с давних времен. Античные летописи говорят о том, что уже тогда арифметику знали глубже и шире, чем это было необходимо для нужд повседневной жизни. Но систематической, самостоятельной наукой высшая арифметика становится лишь в новое время, начиная с открытий Ферма (Fermat, 1601—1665).
Многие простые и общие теоремы высшей арифметики естественно возникают из вычислений, однако при доказательстве этих теорем часто встречаются очень большие трудности. «Эта особенность, — по словам Гаусса, — вместе с неисполнимым богатством высшей арифметики, который она ставит сильно превосходящими другие области математики, придает высшей арифметике неотразимое очарование, сделав ее любимой наукой величайших математиков».
Книга П. Г. Лежен Дирихле “Лекции по теории чисел” принадлежит к лучшим классическим книгам по теории чисел. Несмотря на то, что она составлена Р. Дедекиндом по лекциям Дирихле, читанным в 1856/1857 г., она до сих пор не потеряла своего актуального значения. Все желающие получить серьезную математическую подготовку и в настоящее время не могут пройти мимо этой замечательной книги.
В ней содержатся основные результаты теории квадратичных форм, изложенные Гауссом в его знаменитом сочинении “Disquisitiones Arithmeticae” (“Исследования по арифметике”), и дано систематическое изложение исследований самого Дирихле. Эти исследования служат основанием современной теории чисел и принадлежат к наиболее глубоким результатам математики XIX в.
Эта книга доступна широкому кругу читателей: студентам университетов, учительских и педагогических институтов, преподавателям и учащимся средних школ, техникумов, педагогических училищ и просто любителям математики.
Для понимания первых трех глав ее требуется только знание школьного курса алгебры и элементов тригонометрии. Лишь четвертая, очень короткая, глава требует самых скромных сведений из интегрального исчисления. Эти сведения можно почерпнуть из любого учебника математического анализа. Однако без четвертой главы работа имела бы незаконченый характер.
Большая часть современной теории алгебраических чисел рассматривает вопросы, простейший, но уже не тривиальный, пример которых мы находим в теории квадратичных иррациональностей, данной еще Гауссом в «Disquisitiones arithmeticae». Сюда относятся: теория единиц, теория идеалов, законы взаимности, а следовательно, отчасти, и теория поля классов.
Подробное изучение теории алгебраических иррациональностей третьей степени интересно не только потому, что оно дает следующий по сложности к квадратичным случаям пример на все эти задачи, для решения которых и в этом случае еще можно дать вполне удобные алгоритмы, а главным образом потом, что оно ставит некоторые дальнейшие вопросы, которые в квадратичном случае чаще всего тривиальны, что при изучении чисел не стали предметом исследования.
Сюда относятся, в первую очередь, вопросы классификации кубических иррациональностей, так называемая обратная задача теории Галуа для этих иррациональностей, и вопрос о приближенных алгебраических числах и иррациональной степени высших степеней, в полном виде не решенный до сих пор и тесно связанный с вопросом о представлении чисел неполным (т. е. таким, у которых число переменных меньше их степени) разложением. Вопросы, капитальный вопрос впервые в нетривиальном виде появляются в теории кубических иррациональностей, но далее имеют место для иррациональностей любой степени.
Предлагаемый сборник упражнений предназначается для проработки курса теории чисел в педагогических институтах.
Упражнения довольно резко разделяются на два типа. С одной стороны, дано большое количество упражнений тренировочного характера, предназначенных для выработки студентами вычислительных навыков и иллюстрирующих основные положения курса. Количество таких упражнений, по мнению авторов, вполне достаточно для аудиторных занятий, для самостоятельной работы студентов и для контрольных работ.
Каждый номер этого типа содержит ряд примеров. Для некоторых примеров, особенно первых, даны решения, что особенно необходимо для студентов заочных отделений; некоторые примеры снабжены ответами; такие примеры отмечены звездочкой (*), оставлена без ответов и предназначена для контрольных работ.
