АБАК - 1) Счетная доска, применявшаяся для арифметических вычислений в Древней Греции, Риме, затем в Западной Европе — до XVIII века. Доска разделялась на полосы, счет осуществлялся передвижением находящихся в полосах счетных марок (костяшек, камней и т. п.). В странах Дальнего Востока распространен китайский аналог абака — суан-пан, в России — счеты. 2) В номографии — особый чертеж (т. н. счетная номограмма).
Четырнадцатого марта 1882 г. в Варшаве в семье врача Константина Серпинского родился мальчик, которому дали два имени: Вацлав Франциск. Этому мальчику суждено было стать одним из крупнейших польских математиков. Образование Вацлав Серпинский получил в Варшаве. Здесь он окончил гимназию и университет.
Незаурядные способности Серпинского обнаружились рано, повышенный же интерес к математике наметился лишь в последних классах гимназии под влиянием двух его сочучеников, владевших некоторыми разделами высшей математики, и прекрасного учителя математики Владислава Влодаркского.
Последний был очень высокого мнения о математических способностях Серпинского. В гимназии у Серпинского было ещё несколько замечательных учителей. Так, его учителем французского языка был К. Аппель, впоследствии профессор Варшавского университета.
Не следует на эту книгу смотреть, как на легкопонятный учебник алгебры для начинающих. Подобно прочим моим сочинениям той же серии, «Занимательная алгебра» — прежде всего не учебное руководство, а книга для вольного чтения.
Читатель, которого она имеет в виду, должен уже обладать некоторыми познаниями в алгебре, хотя бы смутно усвоенными или полузабытыми. «Занимательная алгебра» ставит себе целью уточнить, воскресить и закрепить эти разрозненные и неполные сведения, но главным образом — воспитать в читателе вкус к занятию алгеброй и возбудить охоту самостоятельно пополнить по учебным книгам пробелы своей подготовки.
Чтобы придать предмету привлекательность и поднять к нему интерес, я пользуюсь в книге разнообразными средствами: задачами с обычными сюжетами, подсекающими любопытство, занимательными экскурсиями в область истории математики, неожиданными примерами алгебры в практической жизни и т. п.
В основу этой книги положена лекция по уравнениям в целых числах, прочитанная мною в 1951 г. на математической олимпиаде в МГУ.
Я пользуюсь здесь случаем выразить благодарность за оказанную мне помощь моему ученику, доценту Н. М. Коробову, написавшему по конспекту моей лекции первый, второй и часть третьего параграфа.
Книга доступна школьникам старших классов.
Этот справочник имеет двоякое назначение.
Во-первых, здесь можно навести «моментальную» справку: что такое общий наибольший делитель, что такое тангенс и т. п., как вычислить процент, как построить правильный пятиугольник и т. п.; каковы формулы для корней квадратного уравнения, для объема усеченного конуса и т. п. Все определения, правила, формулы и теоремы сопровождаются примерами; при этом особое внимание уделяется примерам практического характера. Всюду, где это требуется, указывается, в каких случаях и как надо применять то или иное правило, каких ошибок надо избегать и т. п.
Во-вторых, этот справочник, по замыслу автора, мог бы служить общедоступным пособием для повторения курса элементарной математики и даже для первого ознакомления с ее практическими применениями.
Сочинения по элементарной математике резко делятся на два типа. Одни представляют собой учебники в собственном смысле этого слова, по которым можно систематически изучать предмет без предварительной подготовки; другие представляют собой трактаты, содержaщие научное изложение дисциплины и рассчитанные на подготовленного читателя.
В то время, как новые учебники появляются очень часто, ценные сочинения второго рода появляются раз в четверть века и даже реже. Появление нового трактата такого рода всегда указывает на то, что в изложении и в разработке дисциплины установились новые течения, новые взгляды; они как бы подводят итог работам целого научного поколения.
Такое значение в конце шестидесятых и в семьдесятых годах имели: “Элементы математики” Бальцера и “Алгебра” Жозефа Бертрана. Но в последнюю четверть века основные элементарной математики подверглись тщательному пересмотру. Глубокий анализ, которому посвятили много труда наиболее выдающиеся ученые, привел к совершенно новым взглядам на элементарную геометрию и к открытию новых, чрезвычайно значительных результатов. Этот тот семестр, которому мы обязаны таким-то автором. Блиндф предпринял издание “Алгебры” Бертранда на английском языке и значительно усилил успехи переводов и дополнив текста оригинала.
В предисловии автора к первому изданию с достаточной полнотой изложены план и содержание второго тома настоящего сочинения. Мы ограничимся, со своей стороны, только следующими замечаниями.
Вопросы, относящиеся к основаниям геометрии, в настоящее время еще усиленно разрабатываются; но не только относительно тех проблем, которые лежат на рубеже между математикой и философией, еще не достигнуто соглашения, не выработано более или менее общей точки зрения, но и возникающие здесь задачи чисто математического характера вызывают еще немало споров.
С этой, именно, точки зрения мы можем рекомендовать читателю отнестись к излагаемым в настоящей книге рассуждениям. Во многих своих частях это не установившаяся прочная истина, это взгляды, которые можно разделять в большей или меньшей степени. С некоторыми взглядами автора мы, например, решительно не можем согласиться; так мы не можем воспринять точки зрения автора на “натуральную геометрию”.
Но автор тонко изучил обширную литературу, относящуюся к основаниям геометрии. В тех случаях, когда по тому или иному вопросу имеются особые расхождения, он с достаточной объективностью излагает различные точки зрения. Во всяком случае это полезное пособие для изучения предметной литературы. Если, однако, читатель не находит вполне своего удовлетворения, то это должно быть отнесено, главным образом, к трудности самого предмета.
В планиметрии мы узнали, что между сторонами и углами треугольника имеется известная зависимость. Теоремы о конгруэнтности треугольников обнаруживают, что треугольник вполне определён по форме и по величине, если в нём даны либо три стороны, либо две стороны и угол, между ними заключённый, либо сторона и два прилежащих угла.
Если даны две стороны и угол, противоположащий одной из них, то треугольник этими данными тоже определяется, если не однозначно, то, и не более, чем двузначно. Мы можем, таким образом, сказать, что всякий раз, как из шести элементов треугольника — трёх сторон и трёх углов — даны какие-либо три, они определяют уже три остальные. Единственное исключение отсюда представляют три угла, так как они не независимы друг от друга, а имеют постоянную сумму в два прямых.
Три угла фактически составляют, таким образом, только два данных, а потому они недостаточны для определения треугольника. В более общем виде можно было бы сказать, что всякий раз, как между шестью элементами треугольника имеются известные связи, треугольник определяется либо однозначно, либо многозначно. Для конструктивных оборотов, рассматриваемых в геометрии, всегда требуется однозначное определение треугольника; например, в треугольных построениях, на вписанной или описанной окружности и т. д.
Учебник предназначен учащимся 11 классов общеобразовательных учреждений, изучающих физику на базовом уровне, и является продолжением учебника “Физика. 10 класс” того же автора. Учебник создан с учетом современных научных представлений, соответствует требованиям федерального компонента государственного стандарта по физике и включает следующие разделы: “Электродинамика”, “Электромагнитное излучение”, “Физика высоких энергий”, “Эволюция Вселенной”. Достоинством учебника является тщательно разработанный методический аппарат, включающий вопросы и задачи различной степени сложности. Книга хорошо иллюстрирована.
Переработанный в соответствии с требованиями нового Федерального государственного образовательного стандарта учебник написан по авторской программе и является продолжением курса Н. С. Пурышевой.Н. Е. Важеевской «Физика. 7класс». Методический аппарат учебника составляют вопросы для самопроверки, система заданий, включающих качественные, графические, вычислительные и экспериментальные задачи и лабораторные работы. В учебнике предусмотрена уровневая дифференциация: материал, который изучается учащимися, проявляющими интерес к физике, помечен звездочкой.
