Мы продолжаем формализованное описание математики. Основным объектом первой части курса было математическое доказательство; было показано, что его подходящим формальным аналогом является понятие вывода в языке, после чего самые интересные результаты утверждали невозможность осцлерательных математических утверждений (например, гипотезы континуума).
Основным объектом этой второй части курса будет детерминированный процесс вычисления, или переработки нечисловой информации, короче, алгоритм. Будет построено подходящее формальное описание алгоритмов (точнее, результаты их действий), и самые интересные результаты окажутся утверждением о несуществовании алгоритмов, вычисляющих содержательно описываемые функции.
Содержанием математической логики является изучение языка математики. Разумеется, забота о языке и постоянная его перестройка для приведения в соответствие с меняющимся состоянием знаний характерна для любой естественной науки (ср. судьбу “флогистона” и “мирового эфира” в физике).
Тем не менее, необходимая работа обычно осуществляется по ходу дела, и то пристальное критическое рассмотрение, которому математика подвергла самое себя и свои средства выражения, представляется уникальным.
Причина этого состоит, конечно, в том, что все остальные естественные науки имеют предмет, внешний им, и эволюция языка наук определяется постоянным сравнением научного описания с описываемой реальностью.
Имя одного из крупнейших современных специалистов в области математической логики С. К. Клинк знакомо советскому читателю по русскому переводу его фундаментального труда “Введение в метаматематику” (ИЛ, 1957), ставшего настольной книгой для всех, кто занимается математической логикой, рекурсивными функциями и основаниями математики. Новая его книга представляет собой существенно усовершенствованный, расширенный и приближенный к нуждам университетского преподавания вариант чисто логической части этой всемирно известной монографии. Тщательно продуманные иллюстративные упражнения помогают читателю усвоить излагаемый материал.
Книга может быть использована как учебное пособие по курсу математической логики в университетах и пединститутах; таким образом, она адресована прежде всего преподавателям, аспирантам и студентам. Она привлекает также внимание всех занимающихся или интересующихся математической логикой.
Предлагаемая читателю книга представляет собой введение в проблематику и методы теории нумераций - нового развивающегося раздела теории алгоритмов. Насколько известно автору, впервые идею о систематическом изучении нумерованных множеств высказал А. Н. Колмогоров в середине пятидесятых годов. Реализацией этой идеи для вычислимых нумераций в то время занялся В. А. Успенский.
Основные его результаты изложены в статье 63 и в книге 10, вышедшей в 1960 году. Параллельно ряд зарубежных математиков (Райс, Деккер, Майхилл, Фридберг, Лахлан, Лакомб, Пур-Эль и др.) также занимались изучением различных вопросов, связанных с вычислимыми нумерациями. Независимо были осуществлены попытки изучения нумерованных алгебр (Фрелих — Шепердсон, Рабин), которые также обнаружили интересные специфические «нумерационные» особенности.
Предлагаемый сборник задач составлен в соответствии с программой университетского курса «Элементы математической логики и алгебры множеств».
Первые четыре параграфа посвящены двоичной булевой алгебре и ее применению в теории релейно-контактных схем, а также исчислению высказываний и предикатов. Большая часть задач двух последних параграфов связана с бинарными отношениями, которые получают все большее применение в различных областях математики.
Задачник снабжен ответами и указаниями, каждому разделу предпослано небольшое теоретическое введение.
Сборник может быть использован как пособие для учащихся юношеских математических школ и всех самостоятельно изучающих соответствующие разделы математики.
Настоящая книга написана на основе лекций, читавшихся П. С. Новиковым во второй половине пятидесятых годов.
В ней излагаются вопросы математической логики, не рассмотренные в первой книге. В этом смысле она как бы дополняет предыдущую книгу.
В то же время книга написана так, что ее можно читать независимо от предыдущей. В частности, в ней подробно излагается весь нужный по ходу дела материал, относящийся к классическим логическим исчислениям.
В учебнике изложены основные разделы математической логики: логика высказываний, предикаты, логический вывод, минимизация, базисы и др., а также некоторые вопросы теории алгоритмов. Материал изложен таким образом, что каждая теоретическая единица сопровождается примерами и практическими заданиями, что позволяет значительно повысить успеваемость не только по данному предмету, но и в других логико-ориентированных дисциплинах.
Учебное пособие содержит подборку заданий для проведения контрольных
и самостоятельных работ по разделу дискретной математики: логика высказы-
ваний, булева алгебра. Приведены необходимые теоретические сведения и при-
меры решения задач, содержится большой набор задач для самостоятельного
решения. Большое внимание уделено принципам строения математических тео-
рий и доказательства математических теорем.
Пособие предназначено для студентов направлений 01.03.02 «Прикладная
математика и информатика», 01.03.04 «Прикладная математика», 02.03.01 «Ма-
тематика и компьютерные науки».
Учебное пособие содержит подборку заданий для проведения контрольных
и самостоятельных работ по разделу дискретной математики: логика высказы-
ваний, булева алгебра. Приведены необходимые теоретические сведения и при-
меры решения задач, содержится большой набор задач для самостоятельного
решения. Большое внимание уделено принципам строения математических тео-
рий и доказательства математических теорем.
Пособие предназначено для студентов направлений 01.03.02 «Прикладная
математика и информатика», 01.03.04 «Прикладная математика», 02.03.01 «Ма-
тематика и компьютерные науки».
Данная работа является изложением некоторых результатов исследований научного коллектива кафедры математического анализа по избранным разделам некоммутативного гармонического анализа и квантования на многообразиях. Для математиков, аспирантов и студентов университетов.
