В настоящее время Теория обыкновенных дифференциальных уравнений сводится главным образом к аналитическому исследованию функций, определяемых этими уравнениями.
Математиков преимущественно интересует, для каких значений переменного x функция y, определяемая уравнением f(x, y, y’ … y^(n)) = 0, при определённых начальных значениях y, y’, … y^(n) представляет голоморфную функцию от x (Коши, Липшиц, Брю-Бук), имеет ли y особенные точки и какие из этих точек зависят от произвольных постоянных и какая независимая (Фукс, Пуанкаре, Пенлеве), каковы сходящиеся разложения, определяющие y около существенно особенных точек (Фукс, Пуанкаре, Пикар) и каковы асимптотические выражения этой функции, для которых является возможным использование помощи разложения (Пуанкаре, Горн, Ляпунов, Брайдич?).
Настоящая работа посвящена исследованиям по теории роста функций, представленных, или рядом Taylor’a, или произведениями типа Weierstrass’a, а также изучению общих принципов роста модуля функций с точки зрения одно значности роста модуля функций; последнее понятие — новое в анализе, и его роль вероятно будет оценена в будущем.
Весьма естественно, если предложен функции — ряд или функции — произведение (Weierstrass’овское), изучать их рост асимптотически и непосредственно, изучая индивидуальности заданных рядов или произведений; это мы и делаем на примере функции E(
В предисловии автора к первому изданию с достаточной полнотой изложены план и содержание второго тома настоящего сочинения. Мы ограничимся, с своей стороны, только следующими замечаниями.
Вопросы, относящиеся к основаниям геометрии, в настоящее время еще усиленно разрабатываются; но не только относительно тех проблем, которые лежат на рубеже между математикой и философией, еще не достигнуто соглашения, не выработано более или менее общей точки зрения, но и возникающие здесь задачи чисто математического характера вызывают еще немало споров. С этой, именно, точки зрения мы можем рекомендовать читателю отнестись к излагаемым в настоящей книге рассуждениям.
Во многих своих частях это не установившаяся прочная истина, это — взгляды, которые можно разделять в большей или меньшей степени. С некоторыми взглядами автора мы, например, решительно не можем согласиться; так же мы не можем усвоить точки зрения автора на «натуральную геометрию».
Но автор тонко изучил обширную литературу, относящуюся к основаниям геометрии. В тех случаях, когда по тому или иному вопросу мнения особенно расходятся, он с достаточной объективностью излагает различные точки зрения. Во всяком случае, однако, читатель не всегда выносит полное удовлетворение. Это должно быть отнесено, главным образом, к трудности самого предмета.
В планиметрии мы узнали, что между сторонами и углами треугольника имеется известная зависимость. Теоремы о конгруэнтности треугольников обнаруживают, что треугольник вполне определён по форме и по величине, если в нём даны либо три стороны, либо две стороны и угол, между ними заключённый, либо сторона и два прилежащих угла.
Если даны две стороны и угол, противоположащий одной из них, то треугольник этими данными тоже определяется, если не однозначно, то, и не более, чем двузначно. Мы можем, таким образом, сказать, что всякий раз, как из шести элементов треугольника — трёх сторон и трёх углов — даны какие-либо три, они определяют уже три остальные. Единственное исключение отсюда представляют три угла, так как они не независимы друг от друга, а имеют постоянную сумму в два прямых.
Три угла фактически составляют, таким образом, только два данных, а потому они недостаточны для определения треугольника. В более общем виде можно было бы сказать, что всякий раз, как между шестью элементами треугольника имеются известные связи, треугольник определяется либо однозначно, либо многозначно. Для конструктивных оборотов, рассматриваемых в геометрии, всегда требуется однозначное определение треугольника; например, в треугольных построениях, на вписанной или описанной окружности и т. д.
