Работы автора

В современном дедуктивном анализе к основным задачам относятся следующие: поиск доказательства заданного утверждения с помощью аксиом и правил вывода и проверка корректности заданного следствия из определенных посылок. Что касается задачи вывода следствий с заранее заданными свойствам (в литературе они названы интересными следствиями), то о них в настоящее время известно немного. Также нет четкого ответа на следующие вопросы: какие свойства присущи интересному следствию и как вычислить интересное следствие?

Ответы на эти вопросы можно получить, если для моделирования рассуждений воспользоваться математическим аппаратом алгебры кортежей, в основу которой заложены ранее неизвестные свойства декартова произведения множеств. Объектами алгебры кортежей являются произвольные многоместные отношения. Эти отношения можно рассматривать как интерпретации формул мате-матической логики. Они представляют собой матрицеподобные структуры, у которых ячейки со-держат не элементы, а подмножества соответствующих атрибутов. Операции (дополнение, обоб-щенное пересечение и обобщенное объединение) в алгебре кортежей соответствуют логическим связкам математической логики (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция), а отношение обобщенное включение – отношению выводимости. Вычисление кванторных операций выполняется с помо-щью операций с атрибутами (добавление фиктивного атрибута, что соответствует правилу обобщения в исчислении предикатов, и элиминация атрибута). Для двух из четырех типов струк-тур алгебры кортежей элиминация атрибутов соответствует вычислению проекции отношения. Для вывода интересных следствий в алгебре кортежей используется структура, названная мини-мальным следствием, которая равна обобщенному пересечению посылок, выраженных структу-рами алгебры кортежей. Интересные следствия вычисляются как проекции минимального следст-вия. В результате вычислений и проверок получаются следствия с сокращенным или заданным составом переменных, а также с сокращенным объемом записи.

В статье обсуждается несостоятельность трёх «бесспорных» положений в современной логике: о противоречивости понятия «множество»; о безусловной необходимости аксиом в логике; о безошибочности силлогистики. Первое заблуждение преодолевается предложением использовать в основаниях логики алгебру множеств в том варианте, который изложен в книге Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика?». Второе заблуждение преодолевается с помощью вывода известных законов алгебры множеств, которые соответствуют законам классической логики, методом перебора вариантов. Третье заблуждение преодолевается построением математической модели полисиллогистики, в основе которой лежат законы алгебры множеств. Новизна предложенной модели рассуждений заключается в том, что в неё помимо посылок вводятся ограничения, нарушение которых свидетельствует о некорректности рассуждения. Данная модель позволяет расширить аналитические возможности логического анализа и выявлять некорректности традиционной силлогистики, к которым, в частности, относится признание «неправильными» модусами некоторых правильных рассуждений. Формулируются и обосновываются новые законы алгебры множеств: закон парадокса, условие непустого пересечения и закон существования.